ভেক্টরের ডট গুণ (Scalar বা স্কেলার গুণন)

ভাবো, তুমি মাঠে একটা ফুটবলকে কিক করলে। ফুটবলটা সোজা সামনের দিকে এগিয়ে গেল।

এখন, যদি তোমার কিকের পুরো জোরটাই ফুটবলকে সামনে এগোতে সাহায্য করে, তাহলে ব্যাপারটা সহজ। কিন্তু যদি তুমি একটু অ্যাঙ্গেল করে বা বাঁকাভাবে কিক করো, তাহলে তোমার পুরো জোরটা কিন্তু ফুটবলকে সামনে নিতে কাজ করে না। কিছুটা জোর অন্যদিকে নষ্ট হয়।

ডট গুণ আমাদের এটাই বলে দেয় যে, একটা ভেক্টরের (তোমার কিক) কতটা শক্তি বা প্রভাব অন্য একটা ভেক্টরের (ফুটবলের এগিয়ে যাওয়া) দিকে কাজ করছে।

মূল ধারণা:

দুটি ভেক্টরের ডট গুণের ফল হলো একটি স্কেলার রাশি (শুধু মান, কোনো দিক নেই)। এই গুণফলটি বলে দেয় একটি ভেক্টরের প্রভাব অন্য ভেক্টরের দিকে ঠিক কতটা পড়ছে। এটিকে দুটি ভেক্টরের মাঝে একটি ডট (.) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

সহজ কথায়:

ডট গুণ হলো একটি ভেক্টরের ছায়ার মতো। ধরো, A এবং B দুটি ভেক্টর। B ভেক্টরের ওপর টর্চলাইট ফেললে A ভেক্টরের উপর B-এর যে ছায়া পড়বে, সেই ছায়ার দৈর্ঘ্য (যাকে ভেক্টর অভিক্ষেপও বলা হয়) এবং A ভেক্টরের মানের গুণফলই হলো ডট গুণ।

সূত্র:

যদি A ও B দুটি ভেক্টর হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তাহলে তাদের ডট গুণ হবে:

এখানে $0\le \theta \le \pi$

কখন ব্যবহার হয়?

• যখন দুটি ভেক্টরের গুণফল হিসেবে একটি স্কেলার রাশি প্রয়োজন হয়। যেমন: কাজ (বল ও সরণের ডট গুণ)।
• দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ বের করতে।
• দুটি ভেক্টর একে অপরের ওপর লম্ব কিনা তা পরীক্ষা করতে। যদি ভেক্টর দুটি লম্ব হয়, তবে তাদের ডট গুণ শূন্য (0) হবে, কারণ cos(90°) = 0।

:::info
💡এখানে,
$|\overrightarrow{B}|\cos \theta$ হচ্ছে $\overrightarrow{A}$ বরাবর $\overrightarrow{B}$ এর অভিক্ষেপ
$|\overrightarrow{A}|\cos \theta$ হচ্ছে $\overrightarrow{B}$ বরাবর $\overrightarrow{A}$ এর অভিক্ষেপ
:::

ভেক্টরের ক্রস গুণ (Vector বা ভেক্টর গুণন)

এবার ভাবো, তুমি একটা বোতলের মুখ বা ছিপি খুলবে। তুমি হাত দিয়ে ছিপিটাকে ঘোরাচ্ছো, তাই না?

খেয়াল করে দেখো, তুমি বল দিচ্ছো ঘোরানোর দিকে (পাশাপাশি), কিন্তু ছিপিটা খুলে আসছে উপরের দিকে। অর্থাৎ, তুমি যেদিকে বল দিচ্ছো আর ছিপিটা যেদিকে সরছে, দুটো দিকই সম্পূর্ণ আলাদা এবং একে অপরের সাথে লম্ব।

ক্রস গুণ ঠিক এই কাজটাই করে। দুটি ভেক্টরকে গুণ করে সে নতুন একটা ভেক্টর তৈরি করে, যার দিকটা আগের দুটো ভেক্টরের সাথেই লম্ব থাকে।

মূল ধারণা:

দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণের ফল হলো একটি নতুন ভেক্টর রাশি, যার মান এবং দিক উভয়ই আছে। এই নতুন ভেক্টরটি মূল ভেক্টর দুটির সমতলের উপর লম্বভাবে অবস্থান করে। এটিকে দুটি ভেক্টরের মাঝে একটি ক্রস (×) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

সহজ কথায়:

ক্রস গুণ একটি তলের ক্ষেত্রফল এবং তার দিক বোঝাতে সাহায্য করে। যদি A এবং B ভেক্টর দুটি একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু হয়, তবে তাদের ক্রস গুণের মান ওই সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান হবে। আর নতুন ভেক্টরটির দিক হবে ওই সামান্তরিকের তলের সাথে লম্ব বরাবর, যা ডানহাতি স্ক্রু-এর নিয়ম (Right-Hand Rule) এর সাহায্যে নির্ণয় করা হয়।

সূত্র:

যদি A ও B দুটি ভেক্টর হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ হয়, তাহলে তাদের ক্রস গুণ হবে:

এখানে, $\hat{\eta }$ হলো একটি একক ভেক্টর, যা A ও B দ্বারা গঠিত তলের ওপর লম্ব এবং এর দিক নির্দেশ করে। এই দিক আমরা বের করতে পারি ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম ব্যবহার করে।

ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম (Right Hand Screw Rule)

ভেক্টর দুটি যে সমতলে অবস্থিত সেই সমতলের উপর লম্বভাবে একটি ডান হাতি স্ক্রুকে রেখে প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে স্কুটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেই দিকই হবে $\overrightarrow{R}$ তথা $\hat{\eta }$ এর দিক।

উপরোক্ত নিয়ম অনুসারে $\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}$ এর অভিমুখ হবে উপরের দিকে। এবং ঐ $\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}$ এর অভিমুখে হবে নিচের দিকে [চিত্র] অর্থাৎ প্রথম ক্ষেত্রে ডান হাতি স্ক্রুর দিক হবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী (Clockwise) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ঘড়ির কাটার দিকে (Clockwise)। Anti-clockwise direction-কে positive (ধনাত্মক) ধরা হয় এবং clockwise direction-কে Negative (ঋণাত্মক) ধরা হয়।

আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ক্রস গুণ

আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি ভেক্টর $\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k}$ হলে তাদের ক্রস গুণ হয় এভাবেঃ

কখন ব্যবহার হয়?

• যখন দুটি ভেক্টরের গুণফলের ফলে নতুন একটি ভেক্টর রাশির প্রয়োজন হয়। যেমন: টর্ক (বল ও ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ক্রস গুণ)।
• দুটি ভেক্টর সমান্তরাল কিনা তা পরীক্ষা করতে। যদি ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়, তবে তাদের ক্রস গুণ শূন্য (0) হবে, কারণ $\sin 0°=0$।

মূল পার্থক্য এক নজরে